Encore un petit casse tête réalisé principalement en fraisage mais avant de rentrer dans les détails…

Un peu d’histoire


Vers la fin de l’an 1590, Sir Walter Raleigh, un explorateur de renom au service de la reine Elisabeth I d’Angleterre (Il était aussi poète, écrivain, soldat, politicien, espion, courtisant mais surtout servira d’inspiration pour créer le personnage de Silvers Rayleigh dans le manga ‘One Piece’), se prépare pour une nouvelle expédition à travers le monde. Il demande à son ami mathématicien Thomas Harriot de l’aider à calculer la quantité de boulets de canons contenus dans les piles de boulets stockées dans les cales de ses bateaux.

Si les Maths peuvent m’aider à compter, je suis preneur !

Ce calcul ne posera aucun problème au mathématicien mais le conduit à se poser des questions sur une problématique plus large:

Quelle est l’empilement de boulets qui prend le moins de place dans la cale du bateau?

Thomas Harriot écrivit donc à son collègue Johannes Kepler, mathématicien et astronome de génie pour lui proposer le problème. C’est lui qui en 1609 décrira dans un livre les lois des mouvements des planètes. Avant lui, Nicolas Copernic avait décrit (juste avant sa mort pour ne pas risquer les foudres de l’église) un mouvement des planètes circulaire, de vitesse constante et centré autour du soleil. Johannes Kepler précisera le modèle de Copernic en prouvant que:

  • L’orbite des planètes n’est pas un cercle mais une ellipse
  • Le soleil n’est pas au centre mais l’un des foyers de l’ellipse du mouvement des planètes
  • Ni la vitesse linéaire, ni la vitesse angulaire des planètes n’est constante

Grace à ses travaux Johannes Kepler est mondialement connu et aujourd’hui son nom à été donné, en autres, à un cratère sur la lune, à un cratère sur mars, à un astéroïde, à une gamme de processeur graphiques pour ordinateurs et surtout au télescope spatial qui à permis de détecter plus de 2600 exo-planètes entre 2009 et 2018.

Donc Kepler se penche sur le problème et suppose que le meilleur moyen d’empiler des sphères (oui, il est mathématicien, les boulets de canon ce n’est pas son truc…) est la méthode utilisée dans les épiceries pour empiler les oranges (un empilement cubique à faces centrées) qui donne une densité d’environ 74,05%. Il ne prouvera jamais cette déclaration et cela restera connu comme la ‘conjecture de Kepler’ publiée dans son livre en 1611

Kepler donna ainsi naissance à un fameux problème mathématique:

Quelle est la manière la plus efficace d’empiler des sphères dans un espace à 3 dimensions?

Ce problème va occuper des mathématiciens pendant plusieurs siècles…

Le premier à contribuer au problème est Carl Friedrich Gauss (oui, oui, le génie des mathématiques) en 1831 qui prouvera que la conjecture de Kepler est vraie dans le cas d’un empilement de sphères en couches régulières. Donc si un empilement est plus dense que 74,05% se sera forcement un empilement irrégulier.

Lors du deuxième congrès international des mathématiciens, tenu à Paris en août 1900, David Hilbert (encore une rockstar des mathématiques) inscrit le problème à la 18ème place de sa liste des 23 problèmes mathématiques qui tiennent encore les mathématiciens en échec. (5 de ces 23 problèmes sont encore aujourd’hui non résolus):


Quel est l’empilement compact de sphères le plus dense ?

En 1953, László Fejes Tóth arrive à déterminer que le problème de densité de l’empilage de sphère, qu’il soit régulier ou irrégulier, peut être réduit à un nombre fini (mais très grand…) de calculs. Il serait donc possible de démontrer la conjecture de Kepler en testant toutes les possibilités. Merci les progrès de l’informatique !!

Ce qui nous amène en 1998, Thomas Hales annonce avoir démontré la conjecture de Kepler et que, pour un empilement de sphères égales, la densité maximale est atteinte pour un empilement cubique à faces centrées. Cette densité vaut environ 74 %.

Hales démontra cette conjecture par calculs sur ordinateur (en testant toutes les combinaison unes à unes avec un programme). Suite à quoi une équipe de 12 mathématiciens est constituée pour vérifier la preuve. Après quatre années d’effort (une durée exceptionnelle pour l’examen d’une publication), Gábor Fejes Tóth (qui n’est autre que le fils de László Fejes Tóth et dirige l’équipe de relecteurs), déclare que la démonstration est probablement juste à au moins 99%. L’équipe a méticuleusement vérifié de nombreuses parties de la démonstration, mais elle n’a pas pu s’assurer qu’aucune faille ne s’y était glissée.

Comme la véracité de sa preuve n’était pas totalement affirmée, T. Hales a alors décidé de produire une preuve formelle de la conjecture. Dans une telle démonstration, on s’assure que chaque étape de la preuve est logiquement valide. Cette approche est mise en place grâce à des assistants de preuve sur ordinateur, qui utilisent une syntaxe logique pour construire la preuve. Ainsi, à partir de 2003, T. Hales crée le projet Flyspeck, qui a utilisé deux assistants de preuve différents.

Le 10 août 2014, l’équipe de T. Hales a annoncé avoir obtenu la preuve formelle de la conjecture de Kepler et a confirmé que la démonstration de 1998 était juste. En 2017 la preuve a été acceptée et publié dans la revue ‘Forum of Mathematics’.

Du mouvement des planètes jusqu’à l’arrangement des atomes dans la matière, voici donc un problème mathématique posé en 1590 qui aura donné du fil à retordre aux mathématiciens pendant plus de 400 ans. alors que lui avait déjà tout compris…

Et maintenant le casse tête…

L’objectif de ce petit casse tête est simple, trouver l’arrangement des sphère le plus dense de manière à faire rentrer les 11 billes dans la boite pour pouvoir refermer le couvercle. Mais nous sommes des techniciens d’usinage et non des mathématiciens, il y a donc forcement un ‘truc’ …